Формула успеха Бернулли

Определение
 Опыт, состоящий из n независмых испытаний, в каждом из которых событие A наступает с постоянной вероятностью p, называется схемой независимых испытаний с двумя исходами или схемой Бернулли ^[1].

Целью опыта является определение вероятности того, что событие A наступит k раз.

Замечание. Так как вероятность наступления события A в каждом из испытаний равна p, то вероятность ненаступления данного события в каждом испытании равна q = 1 − p, а значит, является величиной постоянной. Можно также заметить, что наступление события A k раз в n независимых испытаниях эквивалентно ненаступлению этого события n−k раз.

[1] Бернулли Якоб (Jakob Bernoulli, 1655-1705) − швейцарский математик, один из основателей теории вероятностей и математического анализа. Родоначальник династии Бернулли. Доказал частный случай закона больших чисел − теорему Бернулли.

Формула Бернулли

Пусть в схеме n независимых испытаний событие A наступает в каждом из них с вероятностью p. Тогда вероятность того, что событие A наступит k раз определяется формулой

P_n(k) = C_n^kp^kq^n−k, где q = 1 − p.                                      

Д о к а з а т е л ь с т в о

Рассмотрим ситуацию, в которой интересующее нас событие A в серии из n независмых испытаний наступает k раз и не наступает n − k раз. Поскольку порядок в тех испытаниях, в которых событие A происходит или не происходит, не играет роли, то мы имеем дело с сочетаниями. Очевидно, что число таких ситуаций равно .

С точки зрения вероятностей все эти ситуации одинаковы, так как каждая из них наступает с вероятностью p^kq^n−k.

Поскольку все ситуации несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий вероятность суммы всех подобных ситуаций равна сумме вероятностей этих ситуаций.

Но так как вероятности-слагаемые равны между собой, то определяемая вероятность равна произведению числа ситуаций на вероятность одной ситуации p^kq^n−k.

В итоге, имеем. Что и требовалось доказать.

Задача

Тест состоит из 10 вопросов и включает 4 варианта ответа на каждый вопрос. Один из ответов является верным, а остальные − нет.

Какова вероятность случайно дать правильный ответ: а) на один вопрос;

б) на два вопроса;

в) на три вопроса;

г) не более, чем на два вопроса;

д) менее, чем на два вопроса;

е) более, чем на два вопроса;

ж) не менее, чем на два вопроса?

Решение. Так как вероятность ответа на каждый из вопросов является постоянной для этого теста, и ответ на каждый из вопросов не зависит от ответов на другие вопросы, то решение данной задачи связано с формулой Бернулли.

Вероятность правильного ответа на один вопрос p = 0,25, соответственно вероятность не ответить на вопрос q = 0,75. Эти числа, а также общее число вопросов n = 10, являются для всех подвопросов задачи постоянными величинами.

а) Здесь k = 1, поэтому, согласно формуле Бернулли имеем P₁₀(1) = C₁₀¹ · (0,25)¹ · (0,75)¹⁰⁻¹ ⇒

⇒ P₁₀(1) = 10 · 0,25 · (0,75)⁹ ⇒ P₁₀(1) ≈ 0,188.

б) Здесь k = 2, поэтому,

в) Здесь k = 3, поэтому,

г) Ответить на не более, чем два вопроса, это означает ответить на 0 вопросов, или ответить на 1 вопрос или ответить на 2 вопроса. Поэтому, P₁₀(k ≤ 2) = P₁₀(0) + P₁₀(1) + P₁₀(2).

Вычислим P₁₀(0) = C₁₀⁰ · (0,25)⁰ · (0,75)¹⁰⁻⁰ ⇒

⇒ P₁₀(0) = 1 · (0,25)⁰ · (0,75)¹⁰ ⇒ P₁₀(0) ≈ 0,056.

Подставляя найденное число, а также результаты, полученные в а) и б), имеем

⇒ P₁₀(k ≤ 2) = 0,056 + 0,188 + 0,282 ⇒ P₁₀(k ≤ 2) ≈ 0,526.

д) Ответить менее, чем на два вопроса, это означает ответить на 0 вопросов, или ответить на 1 вопрос. Поэтому,

P₁₀(k < 2) = P₁₀(0) + P₁₀(1).

Подставляя результаты, полученные в г) и а), имеем

⇒ P₁₀(k < 2) = 0,056 + 0,188 ⇒ P₁₀(k < 2) ≈ 0,244.

е) Ответить более, чем на два вопроса, это означает ответить на 3 вопроса, или ответить на 4 вопроса, или ответить на 5 вопросов, и так далее, пока не ответишь на 10 вопрос.

Естественно, решать таким способом задачу затруднительно, поэтому нужно определить событие, противоположное данному.

Так как

P₁₀(k > 2) + P₁₀(k ≤ 2) = 1, то P₁₀(k > 2) = 1 − P₁₀(k ≤ 2).

Учитывая результат, полученный в пункте г), получаем

P₁₀(k > 2) = 1 − 0,526 ⇒ P₁₀(k > 2) ≈ 0,474.

ж) Аналогично можно ответить и на данный вопрос. Имеем

P₁₀(k ≥ 2) + P₁₀(k < 2) = 1.

Поэтому,

P₁₀(k ≥ 2) = 1 − P₁₀(k < 2).

Подставляя результат, полученный в пункте д), находим

P₁₀(k ≥ 2) = 1 − 0,244 ⇒ P₁₀(k > 2) ≈ 0,756.