Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Если же при достаточно большом n условия формулы Пуассона не выполняются, следует обратиться к локальной теореме Муавра-Лапласа ^[1].

Для ее формулировки понадобится следующее

Определение

Функция называется функцией Гаусса.

Функцию Гаусса в табличном виде можно найти в любом справочнике и учебнике, имеющих отношение к теории вероятностей и математической статистике ^[2]. Но для того, чтобы пользоваться ее таблицей, нужно знать следующие

Свойства функции Гаусса

1. Функция является четной, то есть

ϕ(−x) = ϕ(x)                                                        

 2. Если ^[3]

x → ∞, то ϕ(x) → 0.                                                

Теорема

Локальная теорема Муавра-Лапласа Если в схеме n независимых испытаний событие A наступает в каждом из них с вероятностью p, где 0 < p < 1, а n → ∞, то вероятность того, что событие A наступит k раз, где .

[1] де Муавр Абрахам (фр. и англ. Abraham de Moivre, 1667-1754) − английский математик. Основные работы в математическом анализе и теории вероятности. Член Лондонского королевского общества, Парижской и Берлинской академий наук.

де Лаплас Пьер-Симон, (фр. de Laplace Pierre-Simon, 1749-1827) − маркиз, французский математик, механик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей. Иностранный член шести академий наук и королевского общества.

2 Как видно из таблицы значений функции Гаусса, при x ≥ 4 ϕ(x) практически равна нулю.

(Здесь, как и ранее, q = 1 − p.) В практических расч¨етах используют приближ¨енную формулу, которая называется локальной формулой Лапласа:

P_n(k) ^∼= √1   ϕ(x), где x = k√− np (q = 1 − p). 

Замечание

Следует заметить, что чем ближе значения вероятностей p и q к 0,5, тем точнее формула. А при p, близких к 0 или 1 локальная теорема Муавра-Лапласа дает большую погрешность, если сравнивать с результатами, полученным с помощью формулы Бернулли.

Являясь «конкурентом» формулы Пуассона, локальная теорема применяется обычно при npq > 10.

Задача

В честь праздника состоялся массовый забег на дистанцию 10 км. В забеге приняли участие 250 человек. Обычно в забегах такого типа из каждых десяти участников 8 доходят до финиша. Какова вероятность того, что до финиша добежали 200 человек?

Решение

Так как вероятность добежать финиша для каждого участника есть число постоянное, то перед нами схема Бернулли при большом числе испытаний. В силу того, что p = 0,8 > 0,1, вероятность можно вычислить с помощью локальной формулы Лапласа.

Определим q = 1 − 0,8 ⇒ q = 0,2. По условию n = 250, а k = 200. Следовательно, аргумент функции Гаусса .

Из таблицы значений функции Гаусса или с помощью калькулятора находим ϕ(0) = 0,3989.

Таким образом, .

Поэтому,

Далее возникает вопрос, как определять вероятность того, что в схеме независимых испытаний событие A наступает k раз, при этом значения k ∈ [k₁; k₂]?

Если n не велико, а число значений, попавших в диапазон мало, то, используя несовместность событий «k = k₁», «k = k₁ + 1», …, «k = k₂», можно там, где применимы формулы Бернулли и Пуассона, воспользоваться ими.

Там же, где это невозможно, обращаются к интегральной теореме Лапласа. Прежде, чем ее сформулировать, рассмотрим следующее

Определение

Функция

называется интегральной функцией Лапласа.

Точно также, как и функцию Гаусса, интегральную функцию Лапласа можно найти в табличном виде в любом справочнике и учебнике, имеющих отношение к теории вероятностей и математической статистике ^[1]. Но для того, чтобы пользоваться таблицей функции, нужно знать следующие Свойства интегральной функции Лапласа

Функция является нечетной, то есть

Φ(−x) = −Φ(x)

Если ^[2]

x → ∞, то Φ(x) → 0,5.

Теорема

Интегральная теорема Лапласа Если в схеме n независимых испытаний событие A наступает в каждом из них с вероятностью p, где 0 < p < 1, а n → ∞, то вероятность того, что событие A наступит от k₁ до k₂ раз

P(k₁; k₂) = lim (Φ(x₂) − Φ(x₁)), где. n→∞

(Здесь, как и ранее, q = 1 − p.)

На практике используют приближенную формулу:

k − np

P_n(k₁; k₂) = Φ(x₂) − Φ(x₁), где x , x  ,

(q = 1 − p).

Задача

В условиях задачи определить вероятность того, что до финиша добежали от 180 до 210 человек.

Решение

Как и задача, эта задача посвящена схеме Бернулли. Правда, воспользоваться локальной формулой Лапласа, определяя для каждого k от 180 до 210 вероятность проблематично. Поэтому

Как видно из таблицы значений интегральной функции Лапласа, при x ≥ 4 Φ(x) практически равна 0,5.

воспользуемся интегральной формулой Лапласа. Зная, что n = 250; p = 0,8; q = 0,2; k₁ = 180, а k₂ = 210, вычислим соответствующие значения аргумента для интегральной функции Лапласа.;

Подставляя найденные значения аргумента в формулу, воспользуемся таблицей значений интегральной функции Лапласа:

Φ(1,1581)−Φ(−3,162) = Φ(1,1581)+Φ(3,162) = 0,3761+0,4993 = 0,8754.

Следовательно,

Вероятность отклонения относительной частоты события от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Теорема

Если в схеме n независимых испытаний событие A наступает в каждом из них с вероятностью p, где относительная частота события A, то для любого заданного числа ε > 0

(Здесь, как и ранее, q = 1 − p.)

Д о к а з а т е л ь с т в о

 Преобразуем неравенство, «подогнав» его под условия интегральной теоремы Лапласа. Раскрывая модуль, получим двойное неравенство

m −ε <      − p < ε, n

Затем, умножим все части неравенства на n:

−εn < m − np < εn. √

Далее, разделим все части неравенства на npq:

Сократив числитель и знаменатель левой и правой дробей на  n:,

введем обозначения:

Что и требовалось доказать.

Задача

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Сколько нужно провести испытаний n, чтобы с вероятностью γ = 0,7698 можно было ожидать, что относительная частота появления события ε отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение

Согласно условию задачи p = 0,5, q = 0,5. То есть, мы имеем дело со схемой независимых испытаний. Согласно теореме.

По условию задачи .

То есть,

Согласно таблицам функции Лапласа Φ(x) = 0,3849, если x = 1,2. Таким образом,

Следовательно,

Задача

Вероятность выхода устройства из строя во время проведения эксперимента, целью которого является определение надежности устройства в работе, равна 0,2. Было проверено 625 устройств. Чему равна вероятность, того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты выхода из строя устройств от вероятности p=0,2 не превысит 0,02?

Решение

По условию задачи n = 625, p = 0,2, ε = 0,02.

Так как q = 1−p, то q = 0,8. Тогда аргумент функции Лапласа в теореме

Из таблиц интегральной функции Лапласа следует, что Φ(1,25) = 0,3944.

Поэтому, искомая вероятность