Наивероятнейшее число наступлений события в схеме независимых испытаниях

Пусть в схеме n независимых испытаний событие A наступает в каждом из них с постоянной вероятностью p. Тогда имеет место следующее

Определение

Число k называется наивероятнейшим числом наступления события A в схеме независимых испытаний, если вероятность того, что событие A наступит k раз не меньше вероятности остальных, возможных исходов опыта.

Теорема

Пусть в схеме n независимых испытаний событие A наступает в каждом из них с вероятностью p. Тогда для наивероятнейшего числа k наступлений события A справедливо двойное неравенство:

np − q ≤ k ≤ np + p (q = 1 − p).                                     

Д о к а з а т е л ь с т в о

Предположим, что k − наивероятнейшее число в схеме Бернулли при общем числе испытаний n. Тогда, согласно определению, k удовлетворяет следующей системе неравенств:

(P_n(k) ≥ P_n(k − 1), P_n(k) ≥ P_n(k + 1).

Согласно формуле Бернулли (см. refu901) имеем

Подставляя данные представления в систему, получаем,

Сократив обе части первого неравенства системы на,получим

Далее, подставляя q = 1 − p и домножая обе части неравенства на k(n − k + 1),

имеем

(n − k + 1)p ≥ k(1 − p) ⇒ np − pk + p ≥ k − pk.

В результате, после приведения подобных получаем, что k ≤ np + p.

Далее, домножая обе части неравенства на

(n − k)(k + 1),

имеем

q(k + 1)p ≥ p(n − k) ⇒ qk + pk ≥ pn − pk.

Прибавляя к обеим частям неравенства pk и вычитая q, получим

qk + pk ≥ pn − q ⇒ (p + q)k ≥ pn − q.

Так как p + q = 1, то в итоге имеем

k ≥ pn − q.

Таким образом, действительно имеет место двойное неравенство

np − q ≤ k ≤ np + p.

Задача

В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 0,1. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 25 визитов.

Решение

По условию задачи n = 25, p = 0,1. Тогда q = 1 − 0,1, то есть, q = 0,9.

Согласно теореме 4.6 25 · 0,1 − 0,9 ≤ k ≤ 25 · 0,1 +0,1. После вычислений имеем интервал 1,6 ≤ k ≤ 2,6. Так как искомое число является целым, то им может быть только k = 2.
Следовательно,