Формула Пуассона

Теорема

Пусть в схеме n независимых испытаний событие A наступает в каждом из них с вероятностью p, где n → ∞, а p → 0 таким образом, что произведение λ = np является постоянным числом. Тогда вероятность того, что событие A наступит k раз

Д о к а з а т е л ь с т в о

 Предположим, что n конечное число, а событие A в серии независимых испытаний наступило k раз. Поэтому мы можем применить формулу Бернулли

Преобразуем сомножители правой части. Так как Следовательно, Далее, преобразуем первый сомножитель , точнее, зависящие от n элементы числителя и знаменателя: После этих преобразований. Выпишем вторую дробь-сомножитель представления P_n(k) и почленно поделим каждый сомножитель числителя на n:

Возвращая новое произведение вместо дроби, имеем

Далее, заставив n стремиться к бесконечности ^[1], найдем , учитывая при этом, что константу можно вынести за знак предела:

Предполагая, что предел каждого сомножителя является конечным, используем тот факт, что предел произведения равен произведению пределов:

Очевидно, что первые k − 1 и последний пределы равны единице n

Что же касается предела, то он связан с неопределенностью

типа (1)^∞, то есть, со вторым «замечательным» пределом

Поэтому, учитывая свойства показательных выражений, а также предела от непрерывной функции, имеем

Таким образом, действительно.

В практических расчетах используют приближенную формулу, которая называется формулой Пуассона ^[2]:

P_n(k) ^∼= λ ke−λ. (4.2) k!

[1] Так как при этом λ остается постоянным, то p → 0.

[2] Пуассон Симеон Дени (фр. Poisson Simton Denis, 1781-1840) − французский математик, механик и физик. Автор более 300 работ по математическому анализу, математической физике, теоретической и небесной механике.

Замечание 2

В силу малости p формулу Пуассона иногда называют формулой редких событий.

На практике установлено, что формулу целесообразно применять при выполнении условий: p < 0,1 и λ < 9 (или pqn ≤ 10).

Задача 2

Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найдите вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. В данной задаче повреждение одного изделия не зависит от повреждения другого изделия. А так как для каждого изделия вероятность повреждения p = 0,0002 не меняется, то эта задача решается по схеме независимых испытаний. Но ввиду того, что 0,0002 < 0,1, а n = 5000 достаточно большое число, решение этой задачи по формуле Бернулли не представляется возможным.

Поэтому можно попробовать, найти приближенное решение. Для этого по формуле λ = np вычислим λ = 5000 · 0,0002 ⇒ λ = 1.

Так как λ < 10, то условие задачи удовлетворяет формуле Пуассона.

−

Задача 3

В работе службы скорой помощи районного центра происходит три вызова в час. Определите вероятность а) хотя бы одного вызова за один час;

б) пяти вызовов за 2 часа.

Решение. Поскольку потенциальных клиентов ^[1] у службы скорой помощи в районе неизмеримо больше, чем реальных клиентов, то вероятность k вызовов вычисляется по формуле Пуассона, в которой λ − показатель интенсивности: показывает число вызовов в час.

Поскольку определить буквально вероятность «хотя бы одного вызова» невозможно, то найдем вероятность противоположного события: «нуль вызовов в час». То есть, имеем λ = 3, k = 0. Поэтому,

Следовательно, вероятность искомого события определяется

P = 1 − P(0) ⇒ P = 1 − 0,0498 ⇒ P = 0,9502.

б) Эта задача связана с так называемым простейшим потоком событий, который вычисляется по измененной формуле Пуассона:

Pn(k,t) ∼= ( λt)ke−(λt). k!

В нашем случае λ = 3, t = 2, k = 5. Поэтому,

Задача 4

В городке 1000 домов, каждый из которых застрахован от пожара в некоторой страховой компании на сумму 1000000 рублей. Страховой взнос за год составляет 2000 рублей Для данного городка вероятность пожара в течение года оценивается в 0,003. Какова вероятность того, что в течение года страховая компания потерпит убытки?

Решение

Страховая компания собирает в городке со всех домов общий взнос в 2000000 рублей. Следовательно, если сгорят за год не менее, чем три дома, то компания потерпит убытки.

Вычислим параметр λ = 1000 · 0,0003 ⇒ λ = 3. Так λ = 3 < 10, p = 0,003 < 0,1, а n = 1000 достаточно большое число, то можно применить формулу Пуассона.

Прежде, чем ответить на главный вопрос, вычислим предварительно вероятности менее печальных событий: «не сгорит ни один дом», «сгорит один дом», «сгорят два дома».

Зная эти вероятности, найд¨ем вероятность события, противоположного искомому: A¯ =«сгорят менее тр¨ех домов».

P(A¯) = 0,0498 + 0,1494 + 0,2241 ⇒ P(A¯) = 0,4233.

Если событие A¯ =«сгорят не менее чем три дома», то так как

P(A) + P(A¯) = 1,

имеем P(A) = 1 − 0,4233 ⇒ P(A¯) = 0,5767.

Таким образом,